Il s'agit d'explorer les moyens de composer une fonction f avec elle-même, e.g. n fois, mais avec n non entier. En faisant tendre n devenu réel vers 0, on obtient une nouvelle limite qui est un germe de fonction.

Par exemple , et est la réciproque de , généralement notée abusivement (mais pas dans ce texte) .😒

Ne pas confondre , la composée de par elle-même, et , le carré de . Ainsi, est le carré de la composée, et est la composée du carré.

On a bien sûr :

On va explorer ici le cas où n'est pas entier. Dans ce qui suit sera donc un réel.

C'est un exemple très connu. Soit la fonction de [0..1] dans [0..1] définie par :

avec Desmos :

En posant , on obtient

et donc

et

La surprise est que cela marche aussi pour k non entier !

Ainsi

Mais, du fait que Cette application a un maximum en ≃ 0.802..., n'est pas égal à si :

Et même si est négatif...

On peut être tenté de tracer le graphe des itérés successifs d'un réél de départ, c'est à dire tracer le graphe d'une fonction telle que

Cela conduit à se demander s'il peut exister une fonction telle que , pour un donné, et pour tout positif,

Par exemple si , on a , et bien sûr si , on retrouve

Supposons qu'il existe une telle fonction telle que cela soit vrai pour quelconque, alors

Si cette expression admet une limite quand , alors on peut définir la pseudo-dérivée de par composition fractionnaire, que l'on notera , et q'il ne faut pas confondre avec :

Par exemple pour , on a bien sûr et

Ce qui est un résultat intéressant et inattendu. #découverte
J'appelle cela le germe par composition de la fonction . En l'itérant un nombre infini de fois, on retrouve . #TBC

Pour l'application logistique précitée,

et on constate que tend vers une courbe limite quand :

Il est remarquable que cette courbe n'est pas paire alors que L(x) l'est.

Mais il me semble que seule la partie pour a un sens ?

#tâche/TBC